దత్తాత్రేయ రామచంద్ర కాప్రేకర్
దత్తాత్రేయ రామచంద్ర కాప్రేకర్ దహన్, బొంబాయిలో 17 జనవరి 1905న జన్మించాడు. ఇతవి చిన్నవయసులోనే తల్లి మరణించింది. తండ్రి పెంపకంలో పెరిగాడు. విద్యార్ధి దశలోనే లెక్కలలో సులభగణనలు, పజిల్స్ వాని సాధనల పట్ల కుతూహలమును కనబరచాడు. పూనాలోని ఫెర్గూసన్ కళాశాల ద్వారా బి.ఎస్.సి డిగ్రీ పొందాడు. చదువుతున్న కాలంలో థియరీ ఆఫ్ ఎన్‌వలప్స్ పై ఇతని వ్యాసానికి బహుమతి లభించింది. తర్వాత దేవ్‌లాలిలో పాఠశాల ఉపాధ్యాయునిగా స్థిరపడి గణిత పరిశోధనలు ప్రారంభించాడు.
మాథమేటిక్స్ సొసైటీ ప్రతి వార్షిక సమావేశాలలో తను కనుగొన్న విషయాలను ప్రదర్శిస్తూ ఉండేవాడు. మాథమాటిక్స్ స్టూడెంట్ అనే సంచికలో వ్యసాలు ప్రచురితమయ్యేవి. సంఖ్యల మధ్య సంబంధాలు, వాని విచిత్ర లక్షణాలు గూర్చి అనేక విషయాలను ఆవిష్కరించాడు. కాప్రేకర్ కు డెమ్లో నంబర్లపై పరిశోధనకు మూడేళ్ళు బాంబే విశ్వవిద్యాలయం ఆర్ధిక సహాయం లభించింది. కాప్రేకర్ అనేక యూనివర్శిటీలలో తన పరిశోధనలపై ప్రసంగాలు ఇచ్చాడు. ఈయన రిక్రియేషన్ అంశాలపై వ్రాసిన వ్యాసాలు స్క్రిప్టా మాథమేటిక్స్, అమెరికన్ మేథమేటిక్స్ వంటి పత్రికలలో కూడా ప్రచురితమయ్యాయి. ఆయన ఇంటి ప్రవేశద్వారానికి గణితానందమండలి అని పేరుంచాడు. మార్టిన్ గార్డినర్ అనే ప్రసిద్ధ పాత్రికేయుడు ద్వారా ప్రపంచవ్యాప్తంగా పరిచయమైన కాప్రేకర్ పరిశోధనలు అయిన సెల్ఫ నంబర్స్, కాప్రేకర్ స్థిరాంకం (6174), జనరేటెడ్ నంబర్లు ప్రపంచానికి జగద్వితమైనాయి.
ప్రపంచవ్యాప్తంగా గుర్తింపుపొంది, అనేక గణితశాస్త్రజ్ఞుల పరిచయాలు పొందిన కాప్రేకర్ కు మనదేశం ఏ మాత్రం గుర్తింపు ఇవ్వలేదు. కాప్రేకర్ కు ప్రభుత్వం నుండి ఎటువంటి సహాయం లభించలేదు. సంఖ్యా ప్రపంచపు అద్బుతలీలా విన్యాసాలను మనోరంజకముగా ప్రదర్శించి సంఖ్యాశాస్త్రములో భారతీయుల ప్రతిభ తాత్కాలికం కాదని నిరూపించాడు. పూర్తి సమయం గణితానికే అంకితమైనాడు. కాప్రేకర్ చివరి వరకు ఉపాధ్యాయుడుగానే తన జీవితాన్ని గడిపి భౌతికంగా 4-7-1986న కనుమరుగయ్యారు. ఈయన గణిత శాస్త్రంలో తనదైన ముద్రను శాశ్వతంగా వేసి భావితరాలకు మార్గదర్శకునిగా మిగిలిపోయాడు.
కాప్రేకర్ వ్రాసిన పరిశోధన పత్రాలు పుస్తకాలు, సంచికలలోని వ్యాసాల నుండి అతను ప్రతిపాదించిన కొన్ని సంఖ్యాధర్మాలు ------
1) 1 నుండి 1000 లోపు వంఖ్యల వర్గాలు, ఘనాలకు సంబంధించి →
ఎ) 73 = 343 దీనిలో ఎడమ వైపు 7+3 =10 , కుడివైపున 3+4+3=10
బి) 83 = 512 దీనిలో కుడివైపున 5+1+2 = 8
సి) 183 = 5832 దీనిలో కుడివైపున 5+8+3+2 = 18
2) కొన్ని లబ్దాలు →
142857 X 7 = 999999
12345679 X 9 = 111111111
987654321 X 81 = 80000000001
3) రాట్ జంప్ థియరీ →
777 X 55 = 555 X 77
555555 X 444 = 444444 X 555
14141414 X 2727 = 27272727 X 1414
4) కొన్ని విచిత్రలబ్దాలు →
91 X 819 = 74529
9901 X 980199 = 9704950299
999001 X 998001999 = 997004995002999
వివరణ → 91, 819 లోని అంకెలకు మధ్య ఒకటి విడిచి ఒకటి వరుసగా 9,0 లు ఉంచిన, ఆ సంఖ్యల లబ్ద ఫలితములో కూడా 74529 సంఖ్యలోని అంకెల మధ్య అట్లే ఒకటి విడిచి ఒకటి వరుసగా 9,0 లను ఉంచిన ఫలితము సరిపోవును. ఈ విదముగా వచ్చిన సంఖ్యలు 9901,980199 లోని అంకెలకు మధ్య రెండు చొప్పున విడిచి 9,0 లు ఉంచిన, ఆ సంఖ్యల లబ్ద ఫలితములో కూడా 9704950299 సంఖ్యలోని అంకెల మధ్య అట్లే రెండు చొప్పున విడిచి 9,0 లను ఉంచిన ఫలితము సరిపోవును. ఈ విధముగా కొనసాగించవచ్చుననేది సిద్ధాంతము.
5) రామానుజన్ సంఖ్య మాదిరి మరి కొన్ని సంఖ్యలు →
1729 లక్షణం గురించి శ్రీనివాస రామానుజన్ ఏం చెప్పింది మనందరికి తెలుసు. అదే విధంగా రెండు వేర్వేరు ఘనాల మొత్తంగా రెండు విధాలుగా వ్రాయదగిన సంఖ్యలు మరికొన్ని తెలియజేసాడు.
రామానుజన్ సంఖ్య → 1729 = 10 3 + 9 3 = 12 3 + 1 3
ఆ తరువాత సంఖ్యలు (కాప్రేకర్ చెప్పినవి)
4104 = 16 3 + 2 3 = 15 3 + 9 3
13832 = 24 3 + 2 3 = 20 3 + 18 3
40033 = 34 3 + 9 3 = 33 3 + 16 3
64232 = 39 3 + 17 3 = 36 3 + 26 3
110808 = 48 3 + 6 3 = 45 3 + 27 3
842751 = 94 3 + 23 3 = 84 3 + 63 3
6) కాప్రేకర్ స్థిరాంకం → ఇది చాలా ప్రసిద్ధి పొందిన సంఖ్య.
అన్ని అంకెలు సమానముగా లేని ఏ నాలుగు అంకెల సంఖ్య అయినా తీసుకొని అందులోని అంకెలను అవరోహణ క్రమంలో వ్రాయాలి. అట్లాగే ఆరోహణక్రమంలో వ్రాయాలి. పెద్ద సంఖ్యలో నుంచి చిన్న సంఖ్య తీసివేయాలి.
ఉదా : సంఖ్య 1254 అనుకున్నచో
అవరోహణ క్రమములో వ్రాసిన 5421
ఆరోహణ క్రమములో వ్రాసిన 1245
పెద్ద సంఖ్యలోనుండి చిన్న సంఖ్య తీసివేయగా 5421 - 1245 = 4176 వచ్చును.
వచ్చిన సంఖ్యను మరల అవరోహణ, ఆరోహణ క్రమములో వ్రాసి వచ్చిన వాటి భేదం కనుగొని అట్లే చేసినచో చివరకు 6174 వచ్చును. ఈ సంఖ్యకు అదే పద్దతి వర్తింప చేసినచో అదే సంఖ్య పునరావృతం అవుతుంది. అందుకే దీనిని కాప్రేకర్ స్థిరాంకం అంటారు. ఉదాహరణలోని సంఖ్యకు ఈ పద్దతి కొనసాగించి చూద్దాం. వచ్చిన భేదం 4176. దీనికి
అవరోహణ : 7641
ఆరోహణ : 1467
భేదం : 7641 - 1467 = 6174 (కాప్రేకర్ స్థిరాంకం)
తీసివేత ప్రక్రియ గరిష్టంగా 7 సార్లు వరకు పరిమితం అవుతుంది.
ఉదా:→ గరిషటంగా 7 సార్లు ప్రక్రియ ఢపయోగించునది ---- సంఖ్య 1326 అనుకొనుము
1. 1326 అవరోహణ : 6321
ఆరోహణ : 1236
భేదం : 6321 - 1236 = 5085
2. 5085 అవరోహణ : 8550
ఆరోహణ : 0558
భేదం : 8550 - 0558 = 7992
3. 7992 అవరోహణ : 9972
ఆరోహణ : 2799
భేదం : 9972 - 2799 = 7173
4. 7173 అవరోహణ : 7731
ఆరోహణ : 1377
భేదం : 7731 - 1377 = 6354
5. 6354 ఆవరోహణ : 6543
ఆరోహణ : 3456
భేదం : 6543 - 3456 = 3087
6. 3087 అవరోహణ : 8730
ఆరోహణ : 0378
భేదం : 8730 - 0378 = 8352
7. 8352 అవరోహణ : 8532
ఆరోహణ : 2358
భేదం : 8532 - 2358 = 6174
దత్తాత్రేయ రామచంద్ర కాప్రేకర్
Dattatreya Ramachandra Kaprekar
Born in 1905. Worked on the number theory.He had no formal postgraduate training and worked as a schoolteacher in Nasik, India.
1) His claim to fame is the Kaprekar constant 6174. Start with any four digit number, with no repeating digits – say Z. Let A and B be two numbers formed by rearranging the digits of Z, such that A is the highest number that is possible, and B the smallest. Subtract B from A. If this is not 6174, continue the same way now taking this number to be Z.
For example, starting with Ramanujan number 1729:
9721-1279 = 8442
8442-2448 = 5994
9954-4599 = 5355
5553-3555 = 1998
9981-1899 = 8082
8820-0288 = 8532
8532-2358 = 6174
7641-1467 = 6174
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2) He also gave the world Harshad numbers : numbers that can be divided by the sum of their digits. For example 12, which is divisible by (1+2) = 3.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
3) Special products (Rat jump theory)
777 X 55 = 555 X 77
555555 X 444 = 444444 X 555
14141414 X 2727 = 27272727 X 1414
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
4) Product of two numbers is symmetry in both ways ( right to left or left to right)
139 X 109 = 15151
27994681 X 441 = 12345654321
142857 X 7 = 99999
152207 X 73 = 11111111
12345679 X 9 = 111111111
333333666667 X 33 = 11000011000011
14287143 X 7 = 100010001
142857143 X 7 = 1000000001
11011011 X 91 = 1002002001
